Operator 1
Beschreiben
Reproduktion
Definition: Sachverhalte, Daten oder Verläufe knapp und geordnet wiedergeben – ohne Bewertung.
Erwartet wird:
- wichtige Merkmale nennen
- Struktur/Verlauf wiedergeben
- keine Erklärung/Bewertung
Satzstarter:
- „Ich erkenne … …“
- „Charakteristisch ist … …“
- „Die Kurve verläuft … …“
Beispiel 1 – Funktionsgraph beschreiben
Aufgabe: Beschreibe den Verlauf von f(x)=−0,5x^2+2 im Intervall [−3,3].
Lösungsschritte anzeigen
- Scheitel bei (0|2); nach unten geöffnet
- für x<0: steigend bis x=0; für x>0: fallend
- Schnittpunkte: y‑Achse bei 2; x‑Achse bei x=±2
Beispiel 2 – Datenreihe beschreiben
Aufgabe: Beschreibe die Tendenz der Werte: 3, 5, 6, 7, 9, 9, 12.
Lösungsschritte anzeigen
- Werte insgesamt steigend
- keine Ausreißer; Zuwächse gegen Ende größer
- Median zwischen 7 und 9
Operator 2
Erklären
Reorganisation
Definition: Zusammenhänge nachvollziehbar machen (Ursache–Wirkung, Regeln, Begriffe).
Erwartet wird:
- Regel/Prinzip nennen
- Anwendung am Beispiel zeigen
- Fachbegriffe korrekt verwenden
Satzstarter:
- „Weil … …“
- „Das liegt daran, dass … …“
- „Nach der Regel … …“
Beispiel 1 – Kettenregel erklären
Aufgabe: Erkläre, warum bei f(x)=(3x−1)^4 die Kettenregel angewandt wird.
Lösungsschritte anzeigen
- f(x) ist Potenz von innerer linearen Funktion g(x)=3x−1
- Ableitung: f'(x)=4(3x−1)^3·g'(x)=4(3x−1)^3·3=12(3x−1)^3
Beispiel 2 – Zinseszins erklären
Aufgabe: Erkläre den Unterschied zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins.
Lösungsschritte anzeigen
- Einfache Verzinsung: Zinsen nur auf Anfangskapital
- Zinseszins: Zinsen werden mitverzinst
- Formel: K_n = K_0 · (1+p)^n vs. K_n = K_0 · (1 + n·p)
Operator 3
Begründen
Reorganisation
Definition: Aussage mit tragfähigen Argumenten stützen (Regeln, Sätze, Beispiele, Gegenbeispiele).
Erwartet wird:
- Regel/Satz nennen
- logische Kette ohne Lücken
- ggf. Gegenbeispiel nutzen
Satzstarter:
- „Aufgrund … …“
- „Nach dem Satz von … …“
- „Folglich … …“
Beispiel 1 – Monotonie begründen
Aufgabe: Begründe, dass f(x)=x^3 streng monoton wächst.
Lösungsschritte anzeigen
- f'(x)=3x^2 ≥ 0 und nur x=0 gibt Ableitung 0
- f' wechselt nicht das Vorzeichen
- ⇒ streng wachsend
Beispiel 2 – Orthogonalität begründen
Aufgabe: Begründe, dass g: y=2x und h: y=−1/2 x orthogonal sind.
Lösungsschritte anzeigen
- m_g·m_h=2·(−1/2)=−1
- ⇒ Steigungen negativ reziprok
- ⇒ Geraden sind orthogonal
Operator 4
Berechnen
Reproduktion
Definition: Ergebnis mit passender Methode und Einheiten bestimmen.
Erwartet wird:
- geeignete Formel wählen
- sorgfältig umformen
- Einheiten angeben/prüfen
Satzstarter:
- „Ich verwende … …“
- „Eingesetzt ergibt sich … …“
- „Somit … …“
Beispiel 1 – Fläche zwischen Funktionen
Aufgabe: Berechne die Fläche zwischen f(x)=x+1 und g(x)=x^2 auf [0,2].
Lösungsschritte anzeigen
- Schnittpunkte: bei x=0 und x=1±? (hier Intervall 0–2 → 0 und 1? Prüfe): x^2=x+1 ⇒ x^2−x−1=0 ⇒ x≈1,618
- Integrand: (f−g)=(x+1−x^2)
- ∫_0^{1,618} (x+1−x^2) dx ≈ 1,043 (gerundet)
Beispiel 2 – Abstand Punkt–Ebene
Aufgabe: Berechne den Abstand von P(3,−1,2) zur Ebene 2x−y+2z−7=0.
Lösungsschritte anzeigen
- Formel: d = |n·P + d0|/|n|
- n=(2,−1,2), d0=−7 ⇒ |6+1+4−7|/√(4+1+4)=4/3
Operator 5
Bestimmen
Reorganisation
Definition: Eine Größe gezielt ermitteln (z. B. Parameter, Extrempunkt, Schnittpunkt).
Erwartet wird:
- Gleichung/Bed. aufstellen
- rechnerisch lösen
- Ergebnis prüfen
Satzstarter:
- „Wir setzen gleich … …“
- „Lösen liefert … …“
- „Probe zeigt … …“
Beispiel 1 – Extrempunkt bestimmen
Aufgabe: Bestimme Extrema von f(x)=x^3−3x.
Lösungsschritte anzeigen
- f'(x)=3x^2−3=0 ⇒ x=±1
- f''(x)=6x ⇒ f''(−1)=−6<0 ⇒ Maximum; f''(1)=6>0 ⇒ Minimum
- Punkte: (−1|2) und (1|−2)
Beispiel 2 – Parameter bestimmen
Aufgabe: Bestimme a, sodass die Tangente an f(x)=x^2 in x=a die y‑Achse bei 3 schneidet.
Lösungsschritte anzeigen
- Tangente: y=f'(a)(x−a)+f(a) = 2a(x−a)+a^2
- Schnitt bei x=0: y=−2a^2 + a^2 = −a^2 = 3
- keine reelle Lösung (−a^2=3) → nicht möglich
Operator 6
Untersuchen
Transfer
Definition: Systematisch analysieren: Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Definitions-/Wertebereich, Symmetrie, Grenzwerte.
Erwartet wird:
- strukturierter Plan
- alle Kriterien abarbeiten
- Ergebnisse begründen
Satzstarter:
- „Zunächst betrachte ich … …“
- „Weiterhin … …“
- „Abschließend … …“
Beispiel 1 – Kurvendiskussion kompakt
Aufgabe: Untersuche f(x)=−x^3+3x auf Monotonie und Extremstellen.
Lösungsschritte anzeigen
- f'(x)=−3x^2+3 ⇒ 0 bei x=±1
- Vorzeichen: (−∞,−1):−; (−1,1):+; (1,∞):−
- ⇒ max bei x=−1, min bei x=1; Werte f(−1)=2, f(1)=−2
Beispiel 2 – Wachstum/Zerfall
Aufgabe: Untersuche N(t)=N0·e^{kt} (k>0) auf Verdopplungszeit.
Lösungsschritte anzeigen
- N(T)=2N0 ⇒ e^{kT}=2 ⇒ T=(ln 2)/k
Operator 7
Darstellen/Skizzieren
Reproduktion
Definition: Grafische oder tabellarische Darstellung erstellen (maßstäblich/skizzenhaft).
Erwartet wird:
- Achsen beschriften
- markante Punkte eintragen
- Plausibilität prüfen
Satzstarter:
- „Ich trage ein … …“
- „Skizze zeigt … …“
- „Die Achsenskalierung … …“
Beispiel 1 – Parabel skizzieren
Aufgabe: Skizziere g(x)=2(x−1)^2−3.
Lösungsschritte anzeigen
- Scheitel S(1|−3), nach oben geöffnet
- Punkte: x=0 → g(0)=−1; x=2 → g(2)=−1
- Achsen und Symmetrie zur Gerade x=1 einzeichnen
Beispiel 2 – Exponentialskizze
Aufgabe: Skizziere f(x)=3·(1/2)^x.
Lösungsschritte anzeigen
- y‑Achsenabschnitt 3
- fallender Verlauf; Halbierung je +1 in x
- Asymptote y=0
Operator 8
Modellieren
Transfer
Definition: Aus Text eine mathematische Beschreibung entwickeln (Größen, Annahmen, Gleichungen), lösen und interpretieren.
Erwartet wird:
- Größen definieren
- Gleichung(en) aufstellen
- Ergebnis im Kontext deuten
Satzstarter:
- „Sei x … …“
- „Dann gilt … …“
- „Im Kontext bedeutet das … …“
Beispiel 1 – Rechteck an Mauer
Aufgabe: Eine Seite liegt an einer Mauer, Umfang 40 m (nur drei Seiten). Maximiere die Fläche.
Lösungsschritte anzeigen
- 2x + y = 40 ⇒ y = 40 − 2x
- A(x)=x(40−2x)=−2x^2+40x
- Scheitel bei x=10 ⇒ A_max=200 m²
Beispiel 2 – Tarifmodell
Aufgabe: Grundgebühr 10 € und 0,08 €/min. Stelle Kostenfunktion K(x) auf und interpretiere.
Lösungsschritte anzeigen
- K(x)=0,08x+10
- K(0)=10 ⇒ Fixkosten; Steigung 0,08 ⇒ Preis pro Minute
Operator 9
Diskutieren
Transfer
Definition: Argumente abwägen, Fälle vergleichen, Grenzen/Fehlerquellen benennen.
Erwartet wird:
- Pro/Contra/Fallunterscheidung
- Belege/Beispiele
- Fazit
Satzstarter:
- „Einerseits …, andererseits … …“
- „Im Fall … …“
- „Daraus folgt … …“
Beispiel 1 – Methode wählen
Aufgabe: Diskutiere: Numerische vs. analytische Nullstellensuche bei f(x)=x^5−x−1.
Lösungsschritte anzeigen
- Analytisch: keine geschlossene Lösung (allg.)
- Numerisch: z. B. Newton, Intervalle
- Genauigkeit/Geschwindigkeit abwägen
Beispiel 2 – Datenqualität
Aufgabe: Diskutiere die Aussagekraft eines Mittelwerts bei stark schiefen Verteilungen.
Lösungsschritte anzeigen
- Median robuster als Mittelwert
- Einfluss von Ausreißern
- Graphische Prüfung (Boxplot) sinnvoll
Operator 10
Beweisen/Zeigen
Transfer
Definition: Gültigkeit allgemein nachweisen (direkt, indirekt, Induktion, Widerspruch).
Erwartet wird:
- saubere Struktur
- Begründete Schritte
- klarer Abschluss (q. e. d.)
Satzstarter:
- „Zu zeigen ist … …“
- „Angenommen … …“
- „Damit ist gezeigt … …“
Beispiel 1 – Ungleichung zeigen
Aufgabe: Zeige: Für alle x gilt x^2+1 ≥ 2x.
Lösungsschritte anzeigen
- 0 ≤ (x−1)^2 = x^2 − 2x + 1
- ⇒ x^2 + 1 ≥ 2x
Beispiel 2 – Induktion – Summe
Aufgabe: Beweise per Induktion: 1+2+…+n = n(n+1)/2.
Lösungsschritte anzeigen
- IA n=1: 1=1·2/2
- IV: Formel gelte für n
- IS: + (n+1) ⇒ n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2+1)= (n+1)(n+2)/2
Operator 11
Interpretieren/Beurteilen
Bewertung
Definition: Ergebnisse inhaltlich deuten, Tragweite und Grenzen bewerten.
Erwartet wird:
- Einheiten/Kontext prüfen
- Sensitivität/Fehlerquellen
- Fazit ableiten
Satzstarter:
- „Das bedeutet … …“
- „Im Kontext heißt das … …“
- „Unter Annahme … …“
Beispiel 1 – Ableitung interpretieren
Aufgabe: Interpretiere f'(2)=−3 im Sachkontext (Weg‑Zeit).
Lösungsschritte anzeigen
- Momentangeschwindigkeit bei t=2 ist −3 m/s (Richtung negativ)
- Objekt bewegt sich rückwärts bzw. zum Ursprung
Beispiel 2 – Wachstum deuten
Aufgabe: Beurteile: Verdopplungszeit T=ln2/k bei k=0,1.
Lösungsschritte anzeigen
- T≈6,93 Zeiteinheiten
- Langsames Wachstum im Vergleich zu k=0,2 (T≈3,47)
