Klasse 10 – 45 Übungsaufgaben

Mit schrittweiser Lösungsbegleitung. Mobile-optimiert & druckbar.

Aufgabe 1 Ableitung – Produktregel
Bestimme f'(x) für f(x) = (2x−3)(x^2+1).
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  1. Produktregel: (uv)' = u'v + uv'
  2. u=2x−3 ⇒ u' = 2
  3. v=x^2+1 ⇒ v' = 2x
  4. f'(x) = 2(x^2+1) + (2x−3)(2x) = 2x^2+2 + 4x^2−6x
  5. Zusammenfassen: f'(x) = 6x^2 − 6x + 2
Aufgabe 2 Ableitung – Quotientenregel
Bestimme f'(x) für f(x) = (3x^2−1)/(x−2).
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  1. Quotientenregel: (u/v)' = (u'v − uv')/v^2
  2. u=3x^2−1 ⇒ u' = 6x
  3. v=x−2 ⇒ v' = 1
  4. f'(x) = (6x(x−2) − (3x^2−1)·1)/(x−2)^2
  5. Zähler: 6x^2−12x − 3x^2 + 1 = 3x^2−12x+1
  6. f'(x) = (3x^2 − 12x + 1)/(x−2)^2
Aufgabe 3 Ableitung – Kettenregel
Bestimme f'(x) für f(x) = (5x−1)^4.
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  1. Kettenregel: (g(x))^n' = n(g(x))^{n−1}·g'(x)
  2. g(x)=5x−1 ⇒ g'(x)=5
  3. f'(x) = 4(5x−1)^3·5 = 20(5x−1)^3
Aufgabe 4 Kurvendiskussion – Extrema
Gegeben f(x) = x^3 − 3x^2 + 2. Finde Extremstellen.
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  1. f'(x)=3x^2−6x = 3x(x−2) ⇒ Nullstellen bei x=0 und x=2
  2. f''(x)=6x−6 ⇒ f''(0)=−6<0 ⇒ Maximum bei x=0
  3. f''(2)=6>0 ⇒ Minimum bei x=2
  4. Funktionswerte: f(0)=2; f(2)=8−12+2=−2
  5. Extrema: Max (0|2), Min (2|−2)
Aufgabe 5 Kurvendiskussion – Wendestelle
Bestimme Wendestellen von f(x)=x^3−6x.
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  1. f'(x)=3x^2−6; f''(x)=6x
  2. Wendestelle: f''(x)=0 ⇒ x=0
  3. Wechsel des Krümmungsvorzeichens um x=0 gegeben
  4. Punkt: (0, f(0)) = (0, 0)
Aufgabe 6 Tangente an Kurve
Bestimme die Tangentengleichung an f(x)=x^2−4x+1 in x0=3.
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  1. f'(x)=2x−4 ⇒ f'(3)=2
  2. f(3)=9−12+1=−2
  3. Tangente: y = m(x−x0)+f(x0) = 2(x−3) − 2 = 2x − 8
Aufgabe 7 Funktionsschar – Berührpunkt
f_a(x)=x^2+ax. Finde a, sodass die Tangente in x=1 die x‑Achse berührt.
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  1. Tangente in x=1: y = f(1) + f'(1)(x−1).
  2. Bedingung „berührt x‑Achse“: Tangente verläuft als y=0 ⇒ f(1)=0 und f'(1)=0
  3. f(1)=1+a ⇒ 1+a=0 ⇒ a=−1
  4. f'(x)=2x+a ⇒ f'(1)=2+a ⇒ 2−1=1 ≠ 0
  5. Nur mit f(1)=0 ist Tangente nicht automatisch y=0. Korrigiert:
  6. Wir fordern: Tangente y=m(x−1)+f(1) hat y=0 bei x=1 doppelt ⇒ f(1)=0 und m=0 ⇒ f'(1)=0
  7. f(1)=1+a=0 ⇒ a=−1; f'(1)=2+a=0 ⇒ a=−2
  8. Widerspruch → Es gibt keinen a, für den BEIDE Bedingungen gelten. Alternativ: Bedingung „Tangente hat Berührpunkt mit x‑Achse“ ist nicht erfüllbar für diese Schar.
Aufgabe 8 Extremwert – Rechteck unter Parabel
Maximiere Fläche eines Rechtecks unter f(x)=−x^2+4 im 1. Quadranten, mit Ecken auf x‑ und y‑Achse.
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  1. Rechteckpunkte: (0,0), (x,0), (x,f(x)), (0,f(x))
  2. Fläche A(x)=x·f(x)=x(−x^2+4)=−x^3+4x
  3. A'(x)=−3x^2+4 ⇒ 0=−3x^2+4 ⇒ x=±√(4/3) (nur >0)
  4. x=√(4/3); Höhe f(x)=−(4/3)+4=8/3
  5. A_max = x·f(x) = √(4/3)·(8/3) = (8/3)·(2/√3)=16/(3√3) ≈ 3,079
Aufgabe 9 Wachstum – Verdopplungszeit
N(t)=N0·a^t, a>1. Zeige: Verdopplungszeit T=log_a(2).
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  1. Setze N(T)=2N0: 2N0 = N0·a^T ⇒ 2=a^T
  2. Logarithmieren: T = log_a(2)
Aufgabe 10 Logarithmus – Umformen
Forme um: ln(x^2√x) – ln(x).
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  1. ln(x^2√x)=ln(x^2·x^{1/2})=ln(x^{2,5})=2,5·ln x
  2. Minus ln(x): 2,5·ln x − ln x = 1,5·ln x = (3/2) ln x
Aufgabe 11 Exponentialgleichung
Löse: 3·2^x = 48.
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  1. Teile durch 3: 2^x = 16
  2. Schreibe 16=2^4 ⇒ x=4
Aufgabe 12 Potenzgleichung
Löse: x^{3/2} = 27.
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  1. Erhebe beide Seiten auf (2/3): x = 27^{2/3}
  2. 27^{1/3}=3 ⇒ 27^{2/3}=3^2=9 ⇒ x=9
Aufgabe 13 Unbestimmtes Integral
Bestimme ∫ (3x^2 − 4x + 5) dx.
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  1. ∫3x^2 dx = x^3; ∫(−4x) dx = −2x^2; ∫5 dx = 5x
  2. Ergebnis: x^3 − 2x^2 + 5x + C
Aufgabe 14 Bestimmtes Integral – Fläche
Berechne ∫_0^2 (2x+1) dx.
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  1. Stammfunktion: x^2 + x
  2. Einsetzen: (2^2+2) − (0+0) = 4+2 = 6
Aufgabe 15 Fläche zwischen Funktionen
Berechne die Fläche zwischen f(x)=x+2 und g(x)=x^2 auf [−1,2].
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  1. Schnittpunkte: x^2=x+2 ⇒ x^2−x−2=0 ⇒ (x−2)(x+1)=0 ⇒ x=−1,2
  2. Fläche: ∫_{−1}^2 (f−g) dx = ∫(x+2 − x^2) dx
  3. Stammfunktion: (1/2)x^2 + 2x − (1/3)x^3
  4. Einsetzen: [ (1/2)·4 + 4 − (1/3)·8 ] − [ (1/2)·1 − 2 − (1/3)(−1) ]
  5. = (2+4−8/3) − (0,5 − 2 + 1/3) = (6 − 8/3) − (−1,5 + 1/3)
  6. = (18/3 − 8/3) − (−4,5/3 + 1/3) = 10/3 − (−3,5/3) = 13,5/3 = 4,5
Aufgabe 16 Integral – Parameter
Bestimme a, sodass ∫_0^1 (ax + 1) dx = 2.
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  1. Stammfunktion: (a/2)x^2 + x
  2. Einsetzen 0→1: (a/2)·1 + 1 − 0 = a/2 + 1
  3. Gleichung: a/2 + 1 = 2 ⇒ a=2
Aufgabe 17 Mittelwert einer Funktion
Mittelwert von f(x)=x^2 auf [0,3].
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  1. Formel: (1/(b−a))∫_a^b f(x)dx = (1/3)∫_0^3 x^2 dx
  2. ∫_0^3 x^2 dx = [x^3/3]_0^3 = 27/3 = 9
  3. Mittelwert = 9/3 = 3
Aufgabe 18 Arbeit mit Integralen
Zeige: ∫ (2x−1)·e^{x} dx = (2x−3)e^{x} + C.
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  1. Partielle Integration oder Ansatz: (Ax+B)e^{x}
  2. Ableiten: ((Ax+B)' + (Ax+B))e^{x} = (A + Ax + B)e^{x}
  3. Vergleiche mit (2x−1)e^{x} ⇒ A=2, B=−3
  4. Ergebnis: (2x−3)e^{x} + C
Aufgabe 19 Gerade–Ebene Schnittpunkt
Gegeben g: x = (1,2,−1) + t(2,1,3), E: 2x − y + z = 5. Bestimme S.
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  1. Setze x=p+t·u in E: 2(1+2t) − (2+t) + (−1+3t) = 5
  2. ⇒ 2+4t −2 −t −1 +3t = 5 ⇒ (4t−t+3t) + (2−2−1) = 5
  3. ⇒ 6t −1 = 5 ⇒ 6t = 6 ⇒ t = 1
  4. S = (1,2,−1) + 1·(2,1,3) = (3,3,2)
Aufgabe 20 Lagebeziehung Gerade–Gerade
g: x=(1,0,2)+s(1,1,0); h: x=(0,1,1)+t(2,−2,1). Prüfe Lagebeziehung.
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  1. Richtungsvektoren: u=(1,1,0), v=(2,−2,1)
  2. Kein Vielfaches ⇒ nicht parallel
  3. Löse (1,0,2)+s(1,1,0) = (0,1,1)+t(2,−2,1)
  4. Gleichungen: 1+s=2t; s=1−2t; 0+s=1−2t ⇒ s=1−2t
  5. z: 2 = 1 + t ⇒ t=1 ⇒ s = −1
  6. Einsetzen in x: (1,0,2)+(−1)(1,1,0)=(0,−1,2) ≠ (0,1,1)+1(2,−2,1)=(2,−1,2)
  7. Widerspruch ⇒ windschief
Aufgabe 21 Abstand Punkt–Gerade
Abstand von P(2,1,0) zu g: x=(0,0,0)+t(1,2,2).
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  1. Formel: d = |( (P−A) × u )| / |u|
  2. A=(0,0,0), u=(1,2,2), P−A=(2,1,0)
  3. Kreuzprodukt: (2,1,0)×(1,2,2) = (1·2−0·2, 0·1−2·2, 2·2−1·1) = (2, −4, 3)
  4. |…| = √(4+16+9)=√29; |u|=√(1+4+4)=3
  5. d = √29 / 3
Aufgabe 22 Winkel zwischen Vektoren
Bestimme den Winkel zwischen a=(2,−1,2) und b=(1,2,2).
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  1. cos φ = (a·b)/(|a||b|)
  2. a·b = 2·1 + (−1)·2 + 2·2 = 2 − 2 + 4 = 4
  3. |a| = √(4+1+4)=3; |b| = √(1+4+4)=3
  4. cos φ = 4/9 ⇒ φ = arccos(4/9) ≈ 63,61°
Aufgabe 23 Abstand Punkt–Ebene
Abstand von P(3,−1,2) zur Ebene E: 2x−y+2z−7=0.
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  1. Formel: d = |n·P + d0| / |n| mit n=(2,−1,2), d0=−7
  2. n·P + d0 = 2·3 − (−1)·1 + 2·2 − 7 = 6 + 1 + 4 − 7 = 4
  3. |n|=√(4+1+4)=3 ⇒ d=4/3
Aufgabe 24 Geradenwinkel
Winkel zwischen g: x=(1,2,0)+t(1,1,1) und h: x=(0,0,0)+s(1,−1,1).
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  1. Richtungsvektoren u=(1,1,1), v=(1,−1,1)
  2. cos φ = (u·v)/(|u||v|) = (1−1+1)/(√3·√3) = 1/3
  3. φ = arccos(1/3) ≈ 70,53°
Aufgabe 25 Ebene – Normalenform zu Koordinatenform
Gegeben n=(2,−1,1) und Punkt P0(1,2,3). Bestimme Ebenengleichung.
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  1. Normalenform: n·(x−P0)=0 ⇒ 2(x−1) −1(y−2) +1(z−3)=0
  2. Ausmultiplizieren: 2x−2 − y + 2 + z − 3 = 0 ⇒ 2x − y + z − 3 = 0
Aufgabe 26 Volumen Tetraeder
Volumen des Tetraeders mit Punkten A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,2,0), D(0,0,3).
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  1. V = |det(AB, AC, AD)| / 6
  2. AB=(1,0,0), AC=(0,2,0), AD=(0,0,3) ⇒ det = 1·2·3 = 6
  3. V = 6/6 = 1
Aufgabe 27 Gerade in Ebene?
Prüfe, ob g: x=(1,−1,0)+t(2,1,−1) in E: x−2y+z=0 liegt.
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  1. Einsetzen: x=1+2t, y=−1+t, z=−t
  2. Gleichung: (1+2t) − 2(−1+t) + (−t) = 0 ⇒ 1+2t +2 −2t − t = 0 ⇒ 3 − t = 0
  3. Nur für t=3 erfüllt ⇒ Gerade liegt nicht vollständig in E (schneidet E in einem Punkt).
Aufgabe 28 Sinusgesetz
In ΔABC seien a=7, b=9 und α=40°. Bestimme β.
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  1. Sinusgesetz: a/sin α = b/sin β
  2. sin β = b·sin α / a = 9·sin 40° / 7 ≈ 0,823
  3. β ≈ arcsin(0,823) ≈ 55,0° (prüfe spitz/ stumpf mit γ)
Aufgabe 29 Cosinussatz
In ΔABC: a=8, b=6, γ=60°. Bestimme c.
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  1. c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos γ
  2. c^2 = 64 + 36 − 96·0,5 = 52 ⇒ c = √52 ≈ 7,21
Aufgabe 30 Sinusfunktion – Periode & Amplitude
Gegeben f(x)=2·sin(3x−π/2). Nenne Periode und Amplitude.
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  1. Amplitude A=2
  2. Frequenzfaktor 3 ⇒ Periode T = 2π/3
Aufgabe 31 Kreissektor
Kreissektor mit r=10 cm und Mittelpunktswinkel 72°. Fläche?
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  1. Tortenstück-Anteil: 72°/360° = 1/5
  2. A = (1/5)·π·r^2 = (1/5)·π·100 = 20π ≈ 62,83 cm²
Aufgabe 32 Sinusgleichung
Löse auf [0,2π]: 2·sin(x)=√3.
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  1. sin(x) = √3/2 ⇒ Lösungen x = π/3, 2π/3
Aufgabe 33 Binomialverteilung – Einzelwahrscheinlichkeit
n=10, p=0,3. P(X=4)?
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  1. Formel: P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^{n−k}
  2. C(10,4)=210
  3. P = 210 · 0,3^4 · 0,7^6 ≈ 0,200
Aufgabe 34 Binomialverteilung – Mindestens
n=8, p=0,6. P(X≥6)?
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  1. P = P(6)+P(7)+P(8)
  2. C(8,6)=28; C(8,7)=8; C(8,8)=1
  3. P ≈ 28·0,6^6·0,4^2 + 8·0,6^7·0,4 + 1·0,6^8 ≈ 0,594
Aufgabe 35 Erwartungswert & Varianz
Bei Bin(n,p) bestimme E(X) und Var(X).
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  1. E(X)=n·p
  2. Var(X)=n·p·(1−p)
Aufgabe 36 Kombinatorik – mit/ohne Wiederholung
Wie viele 5-stellige Codes (0–9) mit Wiederholung? Wie viele ohne Wiederholung?
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  1. Mit Wiederholung: 10^5 = 100 000
  2. Ohne Wiederholung: 10·9·8·7·6 = 30 240
Aufgabe 37 Statistik – Standardabweichung
Werte: 2, 4, 4, 6, 10. Berechne Mittelwert und σ.
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  1. Mittelwert μ = (2+4+4+6+10)/5 = 26/5 = 5,2
  2. Abweichungen: −3,2; −1,2; −1,2; 0,8; 4,8
  3. Quadrate: 10,24; 1,44; 1,44; 0,64; 23,04 ⇒ Summe 36,8
  4. Varianz (Population): 36,8/5 = 7,36 ⇒ σ ≈ 2,713
Aufgabe 38 Lineares Gleichungssystem 3×3 (Additionsverfahren)
Löse: { x+y+z=6; 2x−y+3z=14; −x+2y−z=−2 }.
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  1. Addiere I+III: (x−x)+(y+2y)+(z−z)=6+(−2) ⇒ 3y=4 ⇒ y=4/3
  2. Setze y in I: x + 4/3 + z = 6 ⇒ x+z = 14/3
  3. Setze in II: 2x − 4/3 + 3z = 14 ⇒ 2x+3z = 14 + 4/3 = 46/3
  4. Multipliziere (x+z=14/3) mit 2: 2x + 2z = 28/3
  5. Subtrahiere von (2x+3z=46/3): z = 18/3 = 6
  6. Dann x = 14/3 − 6 = (14−18)/3 = −4/3
  7. Lösung: (x, y, z) = (−4/3, 4/3, 6)
Aufgabe 39 Bruchgleichung
Löse: (x/2) + (3/(x)) = 4 (x ≠ 0).
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  1. Multipliziere mit 2x: x^2 + 6 = 8x
  2. Umstellen: x^2 − 8x + 6 = 0
  3. pq-Formel: x = 4 ± √(16 − 6) = 4 ± √10
Aufgabe 40 Wurzelgleichung
Löse: √(x+1) = x − 1.
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  1. Beide Seiten quadrieren: x+1 = x^2 − 2x + 1
  2. Alles auf eine Seite: x^2 − 3x = 0 ⇒ x(x−3)=0 ⇒ x=0 oder x=3
  3. Probe: x=0 ⇒ √1 = −1 (falsch), x=3 ⇒ √4 = 2 (richtig)
  4. Lösung: x=3
Aufgabe 41 Potenzgleichung gemischt
Löse: 5·3^x = 2·9^x.
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  1. Schreibe 9^x = (3^2)^x = 3^{2x}
  2. Gleichung: 5·3^x = 2·3^{2x} ⇒ teile durch 3^x: 5 = 2·3^x
  3. 3^x = 5/2 ⇒ x = log_3(2,5) ≈ ln(2,5)/ln(3) ≈ 0,834
Aufgabe 42 Anwendung – Mischung
Wie viel Liter 30 %-Lösung muss man zu 10 l 10 %-Lösung geben, um 20 % zu erhalten?
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  1. Mengen: x Liter von 30 % ⇒ reiner Stoff: 0,3x; vorhanden: 10·0,1=1
  2. Gesamtmenge: 10 + x; Ziel: 20 % ⇒ 0,2(10+x) = 1 + 0,3x
  3. 2 + 0,2x = 1 + 0,3x ⇒ 1 = 0,1x ⇒ x = 10 l
Aufgabe 43 Textaufgabe – Optimierung (Quadratisch)
Ein Zaun soll ein Rechteck an einer Mauer (eine Seite frei) mit 40 m Zaunfläche einfassen. Maximale Fläche?
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  1. Drei Seiten: 2x + y = 40 ⇒ y = 40 − 2x
  2. Fläche A = x·y = x(40 − 2x) = −2x^2 + 40x
  3. Maximum bei Scheitel: x = −b/(2a) = −40/(2·−2) = 10
  4. y=40−2·10=20 ⇒ A_max=10·20=200 m²