1) Grundlagen der Binomialverteilung
Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) genau \(k\) Erfolge zu erzielen.
\(\displaystyle P(X=k)=\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
Beispiel: 10 Münzwürfe (p=0,5). Wahrscheinlichkeit für genau 6 Köpfe:
\(P(X=6)=\binom{10}{6}(0,5)^{10}=210/1024\approx0,205\).
\(P(X=6)=\binom{10}{6}(0,5)^{10}=210/1024\approx0,205\).
2) Rechenaufgaben
Ein Würfel wird 5-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2-mal eine „6“ zu erhalten?
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\(n=5, p=1/6, k=2\).
P=\(\binom{5}{2}(1/6)^2(5/6)^3=10·(1/36)·(125/216)=1250/7776≈0,161\).
Bei 8 Würfen: Wahrscheinlichkeit höchstens 1 „6“.
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P(X≤1)=P(0)+P(1).
P(0)=\((5/6)^8≈0,233\).
P(1)=8·(1/6)·(5/6)^7≈0,373.
Summe≈0,606.
3) Erwartungswert & Standardabweichung
- Erwartungswert: \(E(X)=n·p\)
- Standardabweichung: \(\sigma=\sqrt{n·p·(1-p)}\)
Beispiel: 100 Versuche, p=0,3. Erwartungswert=30, σ≈√21≈4,58.
4) Hypothesentest (Signifikanztest)
Man überprüft eine Vermutung (Hypothese) über p mit der Binomialverteilung.
- Nullhypothese H₀: p=p₀ (z. B. „Münze ist fair“).
- Alternativhypothese H₁: p≠p₀ oder p>p₀ oder p<p₀.
- Signifikanzniveau: α=5% üblich.
- Man berechnet P(Werte, die gegen H₀ sprechen) und vergleicht mit α.
Eine Münze wird 20-mal geworfen, 16-mal Kopf. Teste H₀: p=0,5 auf α=5%.
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n=20, k≥16. P=Σ_{i=16}^{20} \(\binom{20}{i}(0,5)^{20}\).
Wert≈0,0059<0,05. → H₀ verwerfen, Münze vermutlich nicht fair.
5) Übungsset
Kurzaufgaben
- 10 Würfe, p=0,3. Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer?
- 20 Versuche, p=0,2. Erwartungswert und σ?
- Hypothesentest: n=50, 40 Erfolge, H₀:p=0,7, α=5%. Entscheidung?
Lösungen
- P= \(\binom{10}{3}(0,3)^3(0,7)^7≈0,266\).
- E=4, σ=√(20·0,2·0,8)=√3,2≈1,79.
- Beobachtet p=0,8. Testbereich für n=50, H₀: p=0,7 → Erwartung 35. P(X≥40)≈0,049<0,05 → H₀ verwerfen.
6) Zusammenfassung
- Binomialverteilung: P(X=k)=\(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)
- E(X)=n·p, σ=√(n·p·(1-p))
- Hypothesentests prüfen p-Hypothesen mit Signifikanzniveau α