Modul 5 – Analytische Geometrie II

Abstände, Winkel, Vektorrechnung

1) Grundlagen der Vektorrechnung

Für Abstände und Winkel nutzt man das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt:

Beispiel: \((1,2,3)\cdot(4,-1,2)=1·4+2·(-1)+3·2=4-2+6=8\).
Winkel \(\cos\varphi=\frac{8}{|(1,2,3)|| (4,-1,2)|}\).

2) Winkelberechnung

Aufgabe 1: Winkel zwischen zwei Vektoren
\(\vec{a}=(1,2,2), \vec{b}=(2,1,-1)\)
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Skalarprodukt: 1·2+2·1+2·(-1)=2+2-2=2.
|a|=√(1+4+4)=3, |b|=√(4+1+1)=√6.
cos φ=2/(3√6). φ≈75,5°.

Aufgabe 2: Winkel zwischen Gerade und Ebene
Gerade \(g: \vec{x}=(0,0,0)+t(1,2,2)\). Ebene \(E: x+2y+2z=5\).
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Normalenvektor E = (1,2,2). Winkel Gerade-Ebene = 90° – Winkel(Richtungsvektor,Normalenvektor).
Skalarprodukt = 1·1+2·2+2·2=1+4+4=9.
|u|=√9=3, |n|=√9=3 → cos=1 → Winkel=0°. Gerade ist parallel zur Normalen, also senkrecht zur Ebene.

3) Abstandsberechnung

Aufgabe 3: Punkt–Gerade
P(2,0,0), Gerade g: \(\vec{x}=(0,0,0)+t(1,1,0)\).
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Abstand = |(OP × u)| / |u|, mit OP=(2,0,0), u=(1,1,0).
OP×u=(0,0,2). Länge=2. |u|=√2. Abstand=2/√2=√2.

Aufgabe 4: Punkt–Ebene
P(1,2,3), Ebene E: 2x-y+2z=5
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Abstand = |2·1-2+2·3-5|/√(2²+(-1)²+2²)=|(2-2+6-5)|/√9=|1|/3=1/3.

Aufgabe 5: Gerade–Gerade
g: (0,0,0)+t(1,0,0), h: (0,1,0)+s(0,0,1)
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Geraden windschief. Abstand: |(PQ·(u×v))|/|u×v|, PQ=(0,1,0). u=(1,0,0), v=(0,0,1).
u×v=(0,-1,0). PQ·(u×v)=(0,1,0)·(0,-1,0)=-1. Betrag=1. |u×v|=1. Abstand=1.

4) Gemischte Übungsaufgaben

Aufgaben
  1. Winkel zwischen (2,1,0) und (1,-1,2).
  2. Abstand von P(0,0,1) zur Ebene x+z=2.
  3. Abstand der Geraden g:(1,0,0)+t(0,1,1) und h:(0,1,0)+s(1,0,1).
Lösungen
  1. Skalarprodukt=2·1+1·(-1)+0·2=2-1=1. |a|=√5, |b|=√6. cos=1/(√30). φ≈79,5°.
  2. Abstand=|0+1-2|/√2=1/√2≈0,71.
  3. u=(0,1,1),v=(1,0,1),PQ=( -1,1,0). u×v=(1,1,-1). PQ·(u×v)=(-1,1,0)·(1,1,-1)=0. Abstand=0 → Geraden schneiden sich.

5) Zusammenfassung