Modul 4 – Analytische Geometrie I

Geraden, Ebenen, Lagebeziehungen

1) Grundlagen

In der analytischen Geometrie beschreibt man Geraden und Ebenen mit Vektoren und Gleichungen:

Beispiel Gerade: \(\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\)
Beispiel Ebene: \(\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\)

2) Lagebeziehungen von Geraden

Aufgabe 1: Schnittpunkt zweier Geraden
\(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\quad h: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\)
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Setze gleich: \((1+t, t, 2-t)=(2s,1-s,3+s)\).

Löse: 1+t=2s, t=1-s, 2-t=3+s. Ergebnis: t=0, s=0.5. Schnittpunkt (1,0,2).

Aufgabe 2: Parallel oder identisch?
\(g: \vec{x}=(2,1,0)+t(1,2,-1)\), \(h: \vec{x}=(0,3,4)+s(2,4,-2)\)
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Richtungsvektoren proportional? (1,2,-1) und (2,4,-2). Ja, Vielfache → Geraden sind parallel.

Prüfe ob Stützvektoren zusammenpassen: (0,3,4)-(2,1,0)=( -2,2,4). Kein Vielfaches von (1,2,-1). → parallel, aber nicht identisch.

3) Lagebeziehungen Gerade – Ebene

Aufgabe 3: Schnitt Gerade-Ebene
Gerade \(g: \vec{x}=(1,2,1)+t(1,1,0)\). Ebene \(E: x+y+z=6\).
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Setze Geradengleichung in Ebene: (1+t)+(2+t)+1=6 → 2t+4=6 → t=1.

Schnittpunkt: (2,3,1).

Aufgabe 4: Parallel?
\(g: \vec{x}=(0,0,0)+t(1,2,3)\), Ebene \(E: x+2y+3z=5\).
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Normalenvektor E = (1,2,3). Richtungsvektor g = (1,2,3). Skalarprodukt = 14 ≠ 0, aber Richtungsvektor parallel zur Normalen → Gerade senkrecht zur Ebene, also schneidet E in genau einem Punkt.

4) Lagebeziehungen von Ebenen

Aufgabe 5: Schnittgerade zweier Ebenen
\(E_1: x+y+z=3,\quad E_2: 2x-y+z=0\)
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Normale E1: (1,1,1), Normale E2: (2,-1,1). Kreuzprodukt = (2,-1,1)x(1,1,1)=( -2-1,2-2,2+1)=( -3,0,3). → Richtungsvektor der Schnittgeraden. Einen Punkt z.B. x=0,z=0 → y=3. Punkt (0,3,0). Ergebnis: \(g:\vec{x}=(0,3,0)+t(-3,0,3)\).

Aufgabe 6: Lage zweier Ebenen
\(E_1: x-2y+z=4,\quad E_2: 2x-4y+2z=8\)
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Normalen sind Vielfache → Ebenen parallel oder identisch. Da rechte Seite 8 auch Vielfaches von 4, identisch.

5) Übungsset

Kurzaufgaben
  1. Bestimme den Schnittpunkt von \(g:(1,0,0)+t(1,1,1)\) und \(E:x+y+z=3\).
  2. Sind \(E_1: x+2y+z=5\) und \(E_2:2x+4y+2z=10\) identisch?
  3. Schneidet die Gerade \(g:(0,1,2)+t(1,0,-1)\) die Ebene \(E:x-y+z=0\)?
Lösungen
  1. Einsetzen: (1+t)+(0+t)+(0+t)=3→3t+1=3→t=2/3. Punkt (5/3,2/3,2/3).
  2. Normale proportional, rechte Seite auch → identisch.
  3. Einsetzen: 0+t-(1)+(2-t)=? 0+… Rechnen ergibt -1≠0 → Kein Schnittpunkt, parallel.

6) Zusammenfassung