Modul 3 – Analysis Teil 2 Integralrechnung

Abiturtraining: Flächen unter Kurven, Stammfunktionen, Mittelwerte, Anwendungen

1) Überblick & Grundideen

Die Integralrechnung beantwortet die Frage: Wie groß ist die Fläche unter einer Kurve \(y=f(x)\) zwischen zwei Stellen \(a\) und \(b\)? Kernideen:

Beispiel A – Grundintegral:
\(\displaystyle \int_0^2 (x^2+1)\,\mathrm{d}x\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{x^3}{3}+x\).
Also \(F(2)-F(0)=\left(\frac{8}{3}+2\right)-0=\frac{14}{3}\).
Checkliste: Typische Schritte
  1. Bestimme eine passende Stammfunktion \(F\) zu \(f\).
  2. Setze Grenzen ein: \(F(b)-F(a)\).
  3. Bei Flächen unter/über der x-Achse: Intervalle trennen und Beträge bilden.
  4. Bei Schnittflächen zwischen zwei Funktionen: Nullstellen von \(f-g\) finden.
  5. Einheiten prüfen (z. B. Flächeninhalt in „LE²“).

2) Stammfunktionen & bestimmte Integrale

Aufgabe 1 (Basis): Potenzregel anwenden
\(\displaystyle \int_{-1}^{3} (2x - 3x^2)\,\mathrm{d}x\)
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Stammfunktion: \(F(x)=x^2 - x^3\). Dann \(F(3)-F(-1)=(9-27) - (1 - (-1))=(-18) - (2) = -20\).

Interpretation: Das bestimmte Integral ist negativ (Kurve liegt überwiegend unter der x-Achse). Der Flächeninhalt wäre \(|-20|=20\) (LE²), wenn die gesamte Fläche betrachtet wird.

Aufgabe 2 (Schnittfläche): Fläche zwischen zwei Funktionen
Gegeben \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=2x\). Berechne die eingeschlossene Fläche.
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Schnittpunkte aus \(x^2=2x \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0,2\).

Auf \([0,2]\) gilt \(g(x)\ge f(x)\). Fläche: \(\displaystyle \int_0^2 \big(g(x)-f(x)\big)\,\mathrm{d}x =\int_0^2 (2x - x^2)\,\mathrm{d}x\).

Stammfunktion zu \(2x - x^2\) ist \(x^2 - \frac{x^3}{3}\). Einsetzen: \(\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}\) LE².

Aufgabe 3 (Betragsfunktion): Reale Fläche statt Vorzeichen
\(\displaystyle A=\text{Fläche zwischen } h(x)=x-1 \text{ und der x-Achse auf } [-1,3]\).
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Nullstelle: \(x=1\). Zerlege: \([-1,1]\) (unter x-Achse) und \([1,3]\) (über x-Achse).

\(\displaystyle A= \int_{-1}^{1} |x-1|\,\mathrm{d}x + \int_{1}^{3} |x-1|\,\mathrm{d}x\) \(=\int_{-1}^{1} (1-x)\,\mathrm{d}x + \int_{1}^{3} (x-1)\,\mathrm{d}x\)

\(\left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1} + \left[\frac{x^2}{2}-x\right]_{1}^{3} =(1-\tfrac12) - (-1 - \tfrac12) + \big(\tfrac{9}{2}-3 - (\tfrac12-1)\big)= 0.5 + 2.5 = 3\) LE².

3) Sachaufgaben & Mittelwert

Definition Mittelwert einer Funktion:
\(\displaystyle f_{\text{mittel}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\)
Anschaulich: Konstante Höhe eines Rechtecks über \([a,b]\) mit gleicher Fläche wie der Graph von \(f\).
Aufgabe 4 (Mittelwert):
\(f(x)=3x^2-6x+4\) auf \([0,2]\). Bestimme \(f_{\text{mittel}}\).
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\(\displaystyle \int_0^2 (3x^2-6x+4)\,\mathrm{d}x = \left[x^3-3x^2+4x\right]_0^2 = 8-12+8=4\).

\(f_{\text{mittel}}=\dfrac{1}{2-0}\cdot 4 = 2\).

Aufgabe 5 (Weg-Zeit): Geschwindigkeit \(\rightarrow\) Weg
Eine Punktmasse bewegt sich mit \(v(t)=2t+1\) (in m/s). Bestimme den Weg in Metern von \(t=0\) bis \(t=5\).
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Weg \(s=\displaystyle \int_0^5 v(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^5 (2t+1)\,\mathrm{d}t = \left[t^2+t\right]_0^5 = 25+5=30\ \text{m}\).

Aufgabe 6 (Zufluss/Abfluss):
In einen Behälter fließt Wasser mit \(z(t)=5-0{,}5t\) (Liter/min) für \(0\le t\le 8\). Wie viel Liter sind zugeflossen?
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\(\displaystyle V=\int_0^8 (5-0{,}5t)\,\mathrm{d}t=\left[5t-0{,}25t^2\right]_0^8=40-16=24\ \text{Liter}\).

4) Anwendungen: Rotationskörper (optional) & Funktionsbestimmung

Aufgabe 7 (Rotationsvolumen, optional):
Bestimme das Volumen (in LE³), das entsteht, wenn der Graph von \(f(x)=\sqrt{x}\) auf \([0,4]\) um die x-Achse rotiert. (Formel: \(\displaystyle V=\pi\int_a^b (f(x))^2\,\mathrm{d}x\))
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\(V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,\mathrm{d}x=\pi\int_0^4 x\,\mathrm{d}x=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 =\pi\cdot \frac{16}{2}=8\pi\).

Aufgabe 8 (Funktionsparameter aus Fläche):
Die Fläche zwischen \(f(x)=ax+2\) und der x-Achse im Intervall \([0,4]\) betrage \(12\) LE². Bestimme \(a\) (Graph schneidet die x-Achse im Intervall).
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Nullstelle aus \(ax+2=0 \Rightarrow x_0=-\frac{2}{a}\). Für eine Nullstelle in \([0,4]\) muss \(a<0\). Fläche: Betrag des Integrals \(\displaystyle \int_0^4 (ax+2)\,\mathrm{d}x\), ggf. mit Intervallteilung, sobald Vorzeichenwechsel auftritt.

Falls die Nullstelle zwischen 0 und 4 liegt, zerlege in \([0,x_0]\) und \([x_0,4]\). Beispielrechnung für \(a=-1\): Nullstelle \(x_0=2\). Fläche \(|\int_0^2 (-x+2)\,dx| + |\int_2^4 (-x+2)\,dx| = |[-\tfrac{x^2}{2}+2x]_0^2| + |[-\tfrac{x^2}{2}+2x]_2^4|\)

Ergebnis der Beispielrechnung: \( |( -2+4 ) - 0| + |( -8+8 ) - ( -2+4 )| = |2| + |0 - 2| = 2 + 2 = 4\). Für \(12\) muss \(|a|\) größer sein. Vorgehen: Stelle die Flächenbedingung als Gleichung in \(a\) auf und löse (lineare Skalierung, da Integrand linear in \(a\)).

Hinweis: Diese Art Aufgabe prüft sicheres Arbeiten mit Vorzeichen und Intervallzerlegung.

5) Übungsset (mit Lösungen zum Aufklappen)

5.1 Kurze Aufgaben (ohne Kontext)
  1. \(\displaystyle \int_1^3 4x\,\mathrm{d}x\)
  2. \(\displaystyle \int_0^\pi \sin x\,\mathrm{d}x\)
  3. Fläche zwischen \(y=x^2\) und der x-Achse auf \([-1,1]\)
  4. \(\displaystyle \int_0^1 (3x^2+2x+1)\,\mathrm{d}x\)
  5. Mittelwert von \(f(x)=x\) auf \([0,5]\)
Lösungen
  1. \(\left[2x^2\right]_1^3=18-2=16\)
  2. \(\left[-\cos x\right]_0^\pi = -(-1)-(-1)=2\)
  3. \(\displaystyle 2\int_0^1 x^2\,dx = 2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)
  4. \(\left[x^3 + x^2 + x\right]_0^1 = 1+1+1=3\)
  5. \(\dfrac{1}{5-0}\int_0^5 x\,dx = \dfrac{1}{5}\cdot \frac{25}{2} = \frac{5}{2}\)
5.2 Anwendungsaufgaben
  1. Ein Auto beschleunigt mit \(a(t)=4\) m/s² konstant von \(t=0\) bis \(t=5\). Anfangsgeschwindigkeit \(v(0)=0\). Wie groß ist der zurückgelegte Weg? (Hinweis: erst \(v(t)\), dann \(s(t)\)).
  2. Die Zuflussrate ist \(z(t)=6e^{-t}\) (l/min) für \(t\ge 0\). Wie viel Liter fließen in den ersten \(3\) Minuten zu?
  3. Bestimme das Volumen, wenn \(f(x)=x\) auf \([0,2]\) um die x-Achse rotiert.
Lösungen
  1. \(v(t)=\int 4\,dt=4t\Rightarrow s(t)=\int_0^5 4t\,dt=[2t^2]_0^5=50\ \text{m}\)
  2. \(\displaystyle V=\int_0^3 6e^{-t}\,dt = [-6e^{-t}]_0^3 = 6(1-e^{-3})\ \text{l}\)
  3. \(V=\pi\int_0^2 x^2\,dx = \pi\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8\pi}{3}\)

6) Zusammenfassung

Tipp: Trainiere mit den kurzen Aufgaben (5.1) und sichere dir Punkte über saubere Schreibweise und klare Struktur.